Algèbre: Chapitre 8 by N. Bourbaki

By N. Bourbaki

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L’anneau des endomorphismes d’un module simple est un corps. Si M est un A-module simple, tout élément non nul de l’anneau non nul EndA (M) est inversible (prop. 2, c)), donc EndA (M) est un corps. Théorème 1. — Soient K un corps commutatif algébriquement clos, A une Kalgèbre et M un A-module simple. On suppose que la dimension de M comme espace vectoriel sur K est finie, ou plus généralement strictement inférieure au cardinal de K. Alors l’anneau des endomorphismes du A-module M se compose des homothéties αM avec α ∈ K.

L’endomorphisme δ(x) est alors la bijection réciproque de δ(y), et l’on a yx = (δ(x) ◦ δ(y))(1) = 1, d’où le corollaire. 3. Modules indécomposables et modules primordiaux Soit A un anneau. Rappelons la définition suivante (VII, p. 23, déf. 3) : Définition 2. — On dit qu’un A-module M est indécomposable s’il n’est pas somme directe d’une famille de sous-modules distincts de 0 et de M. Compte tenu du corollaire de II, p. 19, les conditions suivantes sont équivalentes : a) Le A-module M est indécomposable ; b) Le A-module M n’est pas nul et tout sous-module facteur direct de M est égal à 0 ou M ; c) Le A-module M n’est pas nul et l’anneau EndA(M) ne contient pas d’élément idempotent distinct de 0 et 1M ; En particulier, comme l’anneau des endomorphismes du A-module As est isomorphe à l’anneau opposé de A, on voit que le A-module As est indécomposable si et seulement si l’anneau A n’est pas nul, et que ses seuls éléments idempotents sont 0 et 1.

Démontrer que si a et b sont deux idéaux bilatères non nuls de l’anneau A[G], on a ab = 0. (Choisir des éléments a = ag g et b = bg g de a et b avec ae = 0 et be = 0. ) ∗ c) Démontrer que, pour que l’anneau A[G] soit artinien à gauche (resp. à droite), il faut et il suffit que l’anneau A soit artinien et que le groupe G soit fini. (Si A[G] est artinien à gauche, déduire du th. 1 de VIII, p. 5 que le groupe G est de longueur finie ; pour prouver qu’il est fini, se ramener au cas où A est un corps et G un groupe simple, puis utiliser b) et la prop.

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